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Flächenformeln (Planimetrie)#

• U ... Umfang
• F ... Fläche

Fläche		Formeln
Kreis		$U=2 \pi r = \pi d$ $F=r^2\pi = \frac{\pi}{4}d^2$
Rechtwinkeliges Dreieck		$U=a + b + c$ $F = \frac{c h}{2} = \frac{a b}{2}$ $c^2 = a^2 + b^2$ $h^2 = p q$ $a^2 = c p$ $b^2 = c q$
Gleichschenkeliges Dreieck
Gleichseitiges Dreieck		$U=3 a$ $F=\frac{a^2}{4}\sqrt{3}$ $h=\frac{a}{2}\sqrt{3}$
Beliebiges Dreieck		$U=a + b + c$ $F=\frac{g h_g}{2} = \sqrt{s(s - a)(s-b)(s-c)}$ $s = \frac{1}{2}( a + b + c)$
Quadrat		$U=4 a$ $F=a^2$ $d=a\sqrt{2}$
Rechteck		$U=2 (a + b)$ $F=a b$ $d=\sqrt{a^2 + b^2}$
Parallelogramm		$U=2 (a + b)$ $F=a h_a =b h_b$
Trapez		$U=a+b+c+d$ $F=m h$ $m = \frac{a + c}{2}$
Deltoid		$U=2 (a + b)$ $F=\frac{e f}{2}$

• d ... Diagonale
• b ... Bogenlänge
• α ... Zentriwinkel (im Bogenmaß)

Fläche		Formeln
Kreis		$U=2 \pi r = \pi d$ $F=r^2\pi = \frac{\pi}{4}d^2$
Kreisabschnitt (Segment)		$U=b + s$ $F=\frac{r^2}{2}(\alpha - \sin\alpha)$ $b=r \alpha = \frac{\pi r \alpha^\circ}{180^\circ}$ $s=2 r \sin\frac{\alpha}{2}$ $h=r \left(1 - \cos\frac{\alpha}{2}\right)$ $r=\frac{s^2}{8h} + \frac{h}{2}$ $\alpha=2 \arcsin\frac{s}{2r}$
Rechtwinkeliges Dreieck		$U=a + b + c$ $F = \frac{c h}{2} = \frac{a b}{2}$ $c^2 = a^2 + b^2$ $h^2 = p q$ $a^2 = c p$ $b^2 = c q$
Gleichschenkeliges Dreieck		$U=a + 2 b$ $h=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}$
Gleichseitiges Dreieck		$U=3 a$ $F=\frac{a^2}{4}\sqrt{3}$ $h=\frac{a}{2}\sqrt{3}$
Beliebiges Dreieck		$U=a + b + c$ $F=\frac{g h_g}{2} = \sqrt{s(s - a)(s-b)(s-c)}$ $s = \frac{1}{2}( a + b + c)$
Quadrat		$U=4 a$ $F=a^2$ $d=a\sqrt{2}$
Rechteck		$U=2 (a + b)$ $F=a b$ $d=\sqrt{a^2 + b^2}$
Parallelogramm		$U=2 (a + b)$ $F=a h_a =b h_b$
Trapez		$U=a+b+c+d$ $F=m h$ $m = \frac{a + c}{2}$
Deltoid		$U=2 (a + b)$ $F=\frac{e f}{2}$
Gleichseitiges Fünfeck		$\alpha=108^\circ, \beta=72^\circ$ $R=\frac{a}{2 \sin(36^\circ)} \approx 0.85065 \cdot a$ $r=\frac{a}{2 \tan(36^\circ)} \approx 0.68819 \cdot a$ $U=5a$ $F=\frac{a^2}{4}\sqrt{25+10\sqrt{5}}=\frac{5a^2}{4\tan(36^\circ)}\approx 1.72048 \cdot a^2$ $d=a \cdot \phi=a \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx a \cdot 1.618034$

Der Kreisabschnitt liefert den Kurvenradius aus einer Sehne im Lageplan, siehe Kurvengrenzgeschwindigkeit.

Dreht man den Kreisabschnitt um seine Höhe, entsteht der Kugelabschnitt — siehe Körperformeln (Stereometrie).

Verwandt: Winkelfunktionen für Sinus und Kosinus in den Dreiecks- und Kreisformeln, Mathematik für $\pi$ und den Goldenen Schnitt $\phi$, Platonische Körper für die aus diesen Flächen gebildeten Körper.

Körperformeln (Stereometrie)#

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• A ... Oberfläche
• A_O ... gesamte Oberfläche
• A_G ... Grundfläche
• A_D ... Dachfäche
• A_M ... Mantelfläche
• V ... Volumen
• $\pi$ ... 3.1415927

Körper		Formeln
Kreiskegel		$A = \pi r^2 + \pi rs$ $V = \frac{\pi}{3}r^2h$ $s = \sqrt{r^2 + h^2}$
Kreiskegelstumpf		$A = \pi [r^2 + R^2 + m (r +R)]$ $V = \frac{h \pi}{3}(R^2 + Rr + r^2)$
Kugel		$A = 4 \pi r^2$ $V = \frac{4}{3}\pi^3$ $d = 2r$
Pyramidenstumpf		$A_M = A_1 + A_2 + \dots + A_n$ $A_O = A_M + A_G + A_D$ $V = \frac{1}{3}h(A_G + \sqrt{A_G A_D} + A_D)$
Pyramide		$A_M = A_1 + A_2 + \dots + A_n$ $A_O = A_G + A_M$ $V = \frac{1}{3}A_G h$
Quader		$A = 2 (ab + ac + bc)$ $V = a b c$ $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$
Torus		$A = 4\pi^2rR$ $V = 2\pi^2 r^2 R$
Würfel		$A = 6a^2$ $V = a^3$ $d=a \sqrt{3}$
Kreiszylinder		$A = 2 \pi r (r + h)$ $V = \pi r^2 h$
Fass		$d = \sqrt{h^2 + (2r)^2}$ $V \approx \frac{1}{3}\pi h (2R^2 + r^2)$

https://www.grund-wissen.de/mathematik/elementare-geometrie/stereometrie.html#

• A ... Oberfläche
• A_O ... gesamte Oberfläche
• A_G ... Grundfläche
• A_D ... Dachfläche
• A_M ... Mantelfläche
• V ... Volumen
• h ... Höhe, beim Kugelabschnitt die Höhe der Kalotte
• a ... beim Kugelabschnitt der Radius des Schnittkreises
• $\pi$ ... 3.1415927

Körper		Formeln
Kreiskegel		$A = \pi r^2 + \pi rs$ $V = \frac{\pi}{3}r^2h$ $s = \sqrt{r^2 + h^2}$
Kreiskegelstumpf		$A = \pi [r^2 + R^2 + m (r +R)]$ $V = \frac{h \pi}{3}(R^2 + Rr + r^2)$
Kugel		$A = 4 \pi r^2$ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ $d = 2r$
Kugelabschnitt (Kalotte)		$a^2 = h (2r - h)$ $r = \frac{a^2 + h^2}{2h}$ $A_M = 2 \pi r h = \pi (a^2 + h^2)$ $A_O = A_M + \pi a^2$ $V = \frac{\pi h^2}{3}(3r - h) = \frac{\pi h}{6}(3 a^2 + h^2)$
Pyramidenstumpf		$A_M = A_1 + A_2 + \dots + A_n$ $A_O = A_M + A_G + A_D$ $V = \frac{1}{3}h(A_G + \sqrt{A_G A_D} + A_D)$
Pyramide		$A_M = A_1 + A_2 + \dots + A_n$ $A_O = A_G + A_M$ $V = \frac{1}{3}A_G h$
Quader		$A = 2 (ab + ac + bc)$ $V = a b c$ $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$
Torus		$A = 4\pi^2rR$ $V = 2\pi^2 r^2 R$
Würfel		$A = 6a^2$ $V = a^3$ $d=a \sqrt{3}$
Kreiszylinder		$A = 2 \pi r (r + h)$ $V = \pi r^2 h$
Fass		$d = \sqrt{h^2 + (2r)^2}$ $V \approx \frac{1}{3}\pi h (2R^2 + r^2)$

Der Kugelabschnitt entsteht durch Drehung eines Kreisabschnitts um dessen Höhe; die Formeln der ebenen Figur — Bogen, Sehne, Fläche — stehen in Flächenformeln (Planimetrie).

Verwandt: Platonische Körper für die regelmäßigen Vielflächner, Ausgewählte Dichtewerte für die Masse aus dem Volumen.

https://www.grund-wissen.de/mathematik/elementare-geometrie/stereometrie.html

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Mathematik#

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Irrationale Zahlen#

Irrationale Zahlen#

Verwandt: Flächenformeln (Planimetrie) und Körperformeln (Stereometrie) für $\pi$ und den Goldenen Schnitt im Fünfeck, Winkelfunktionen für die Wurzelwerte der Sinustafel, Zinsen, Barwert und Annuitäten für die stetige Verzinsung mit $e$ und Römische Ziffern und griechisches Alphabet für die Formelzeichen.

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Mittelwert und Median#

→ Behelf: Mittelwerte und Median

„Der Durchschnitt“ ist kein eindeutiger Begriff. Es gibt mehrere Mittelwerte, die aus denselben Zahlen verschiedene Ergebnisse liefern, und welcher der richtige ist, hängt von der Frage ab, nicht von den Zahlen. Gemeinsam ist ihnen nur, dass sie eine Reihe von Werten durch einen einzigen ersetzen, der die Reihe vertreten soll¹.

Mittelwert#

Arithmetisches Mittel#

Das gewöhnliche Durchschnittsrechnen: alle Werte zusammenzählen und durch ihre Anzahl teilen.

$$\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$$

Aus 48, 50 und 52 ergibt sich 50. Das arithmetische Mittel passt, wo sich die Werte sinnvoll addieren lassen und die Summe zählt: Beträge, Längen, Messwerte einer Messreihe. Es ist jener Wert, den jeder bekäme, wenn man die Summe gleichmäßig verteilte.

Seine Schwäche sind Ausreißer. Neun Gäste mit einem Monatseinkommen von 2.000 € und einer mit 100.000 € haben im Mittel 11.800 € — ein Einkommen, das keiner von ihnen bezieht. Betritt ein Millionär das Wirtshaus, sind im Mittel alle Gäste wohlhabend.

Zählen die Werte unterschiedlich viel, rechnet man das gewichtete Mittel: jeden Wert mit seinem Gewicht $w$ malnehmen, zusammenzählen und durch die Summe der Gewichte teilen.

$$\bar x_w = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \dots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \dots + w_n}$$

Der mittlere Quadratmeterpreis zweier Wohnungen mit 50 m² zu 4.000 €/m² und 100 m² zu 3.000 €/m² ist nicht 3.500 €/m², sondern $(50 \cdot 4000 + 100 \cdot 3000) / 150 = 3.333$ €/m², denn die größere Wohnung bringt mehr Quadratmeter in die Rechnung.

Geometrisches Mittel#

Die $n$-te Wurzel aus dem Produkt der Werte:

$$\bar x_\text{geo} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}$$

Es passt, wo sich die Werte multiplizieren statt addieren: Wachstumsraten, Zinsen, Wertsteigerungen, Indexveränderungen, Umrechnungsfaktoren. Dafür rechnet man nicht mit den Prozentsätzen, sondern mit den Faktoren². Ein Wertpapier, das im ersten Jahr um 50 % steigt und im zweiten um 50 % fällt, steht arithmetisch gemittelt bei ±0 %. Tatsächlich ist es am Ende $1{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}75$, also ein Viertel weniger wert. Das geometrische Mittel der Faktoren, $\sqrt{0{,}75} = 0{,}866$, liefert die richtige mittlere Veränderung: −13,4 % je Jahr, zweimal hintereinander angewandt wieder −25 %. Verzinsung über mehrere Jahre: Zinsen, Barwert und Annuitäten; ein Anwendungsfall bei Umrechnungsfaktoren: Holzmaßumrechnung.

Das geometrische Mittel ist nur für positive Werte definiert.

Harmonisches Mittel#

Die Anzahl der Werte, geteilt durch die Summe ihrer Kehrwerte:

$$\bar x_\text{harm} = \frac{n}{\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \dots + \dfrac{1}{x_n}}$$

Es passt für Raten, die sich auf eine gleiche Bezugsmenge beziehen, vor allem für Geschwindigkeiten über gleich lange Strecken. Wer 100 km mit 100 km/h hin und dieselben 100 km mit 50 km/h zurück fährt, ist nicht mit 75 km/h unterwegs gewesen: Er braucht eine Stunde hin und zwei zurück, 200 km in drei Stunden ergeben $2 / (1/100 + 1/50) = 66{,}7$ km/h. Die langsame Strecke dauert länger und zählt deshalb mehr.

Bei gleichen Fahrzeiten statt gleichen Strecken gilt dagegen wieder das arithmetische Mittel.

Verhältnis der drei Mittelwerte#

Für dieselben positiven Werte gilt stets

$$\bar x_\text{harm} \le \bar x_\text{geo} \le \bar x$$

und Gleichheit nur dann, wenn alle Werte gleich sind. Für 100 und 50 sind es 66,7, 70,7 und 75. Wer den falschen Mittelwert verwendet, erhält also nicht irgendein Ergebnis, sondern eines, das in vorhersagbarer Richtung danebenliegt.

Median#

Der Median (Zentralwert) ist der Wert in der Mitte der der Größe nach geordneten Reihe: Die eine Hälfte der Werte liegt darunter, die andere darüber. Bei ungerader Anzahl ist es der mittlere Wert, bei gerader das arithmetische Mittel der beiden mittleren.

Aus 3, 7, 8, 12 und 95 ergibt sich der Median 8; das arithmetische Mittel beträgt 25. Der Median kümmert sich nicht darum, wie weit ein Ausreißer entfernt ist, sondern nur darum, auf welcher Seite er liegt. Im Wirtshaus von oben beträgt er 2.000 €, ob der Millionär nun zu Gast ist oder nicht.

Deshalb ist er das bessere Maß für den typischen Fall, wo die Werte schief verteilt sind: Einkommen, Kaufpreise, Sanierungskosten, Verfahrensdauern, Wirkstoffgehalte (Reinsubstanzgehalte). Liegt das arithmetische Mittel deutlich über dem Median, tragen es wenige hohe Werte; das ist selbst schon eine Auskunft über die Verteilung³.

Welcher Wert wann#

Wird in einem Gutachten nur „der Durchschnitt“ genannt, ist zu fragen, welcher gemeint ist, wie viele Werte eingegangen sind und wie weit sie streuen (Methodenkritik im Gutachten › Zahlen richtig lesen).

Behelf: Mittelwerte und Median#

Platonische Körper#

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Tetraeder#

• 4 gleichseitige Dreiecke
• 4 Ecken
• 6 Kanten

Würfel (Hexaeder)#

• 6 Quadrate
• 8 Ecken
• 12 Kanten

Oktaeder#

• 8 gleichseitige Dreiecke
• 6 Ecken
• 12 Kanten

Dodekaeder#

• 12 gleichseitige Fünfecke
• 20 Ecken
• 30 Kanten

Ikosaeder#

• 20 gleichseitige Dreiecke

• 12 Ecken

• 30 Kanten#

  Die fünf regelmäßigen Vielflächner: Alle Seitenflächen sind gleiche regelmäßige Vielecke, an jeder Ecke stoßen gleich viele zusammen. Alle Formeln gehen von der Kantenlänge aus.

• a ... Kantenlänge

• V ... Volumen

• A ... Oberfläche

• r_i ... Radius der eingeschriebenen Kugel (Inkugel), die alle Flächen von innen berührt¹

• r_u ... Radius der umschriebenen Kugel (Umkugel), die durch alle Ecken geht

Körper		Flächen	Ecken	Kanten	Formeln
Tetraeder		4 gleichseitige Dreiecke	4	6	$V = \frac{\sqrt{2}}{12}\,a^3 \approx 0.1179\,a^3$ $A = \sqrt{3}\,a^2 \approx 1.7321\,a^2$ $r_i = \frac{\sqrt{6}}{12}\,a \approx 0.2041\,a$ $r_u = \frac{\sqrt{6}}{4}\,a \approx 0.6124\,a$
Würfel (Hexaeder)2		6 Quadrate	8	12	$V = a^3$ $A = 6\,a^2$ $r_i = \frac{a}{2}$ $r_u = \frac{\sqrt{3}}{2}\,a \approx 0.8660\,a$
Oktaeder		8 gleichseitige Dreiecke	6	12	$V = \frac{\sqrt{2}}{3}\,a^3 \approx 0.4714\,a^3$ $A = 2\sqrt{3}\,a^2 \approx 3.4641\,a^2$ $r_i = \frac{\sqrt{6}}{6}\,a \approx 0.4082\,a$ $r_u = \frac{\sqrt{2}}{2}\,a \approx 0.7071\,a$
Dodekaeder3		12 regelmäßige Fünfecke	20	30	$V = \frac{15 + 7\sqrt{5}}{4}\,a^3 \approx 7.6631\,a^3$ $A = 3\sqrt{25 + 10\sqrt{5}}\,a^2 \approx 20.6457\,a^2$ $r_i = \frac{a}{2}\sqrt{\frac{25 + 11\sqrt{5}}{10}} \approx 1.1135\,a$ $r_u = \frac{\sqrt{3}\,(1 + \sqrt{5})}{4}\,a \approx 1.4013\,a$
Ikosaeder		20 gleichseitige Dreiecke	12	30	$V = \frac{5\,(3 + \sqrt{5})}{12}\,a^3 \approx 2.1817\,a^3$ $A = 5\sqrt{3}\,a^2 \approx 8.6603\,a^2$ $r_i = \frac{\sqrt{3}\,(3 + \sqrt{5})}{12}\,a \approx 0.7558\,a$ $r_u = \frac{a}{4}\sqrt{10 + 2\sqrt{5}} \approx 0.9511\,a$

Verwandt: Körperformeln (Stereometrie) für die übrigen Körper, Flächenformeln (Planimetrie) für Dreieck, Quadrat und Fünfeck als Seitenflächen.

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Teilbarkeitsregeln#

→ Behelf: Teilbarkeit und Primfaktoren · Behelf: Anteile auf Hauptnenner · Behelf: Zahlendreher suchen

Ob eine Zahl durch eine andere aufgeht, lässt sich meist ohne Division erkennen — an der letzten Ziffer, an der Quersumme, an einer kurzen Kette von Subtraktionen. Gebraucht wird das seltener für das Teilen selbst als für seine Kontrolle: um Anteile auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, eine Aufstellung auf Zahlendreher zu prüfen oder eine Prüfziffer nachzurechnen. Zu Stellenwert und Basis siehe Zahlensysteme und Binärcode, zu den Fehlern im Umgang mit Zahlen Fehlschlüsse mit Zahlen.

Grundbegriffe#

Eine ganze Zahl $a$ ist durch $b$ teilbar, wenn die Division ohne Rest aufgeht, wenn also $a = k \cdot b$ für eine ganze Zahl $k$ gilt. Man schreibt $b \mid a$, gelesen „$b$ teilt $a$“. Geht die Division nicht auf, bleibt ein Rest $r$ mit $0 \le r < b$:

$$a = q \cdot b + r$$(1)

Den Rest allein bezeichnet man als $a \bmod b$, gesprochen „$a$ modulo $b$“.¹ Teilbarkeit heißt also nichts anderes als $a \bmod b = 0$.

Auch die Kalenderrechnung ist Restrechnung: Wochentage wiederholen sich modulo 7, und die Schaltjahrregel ist eine Teilbarkeitsregel — durch 4, nicht durch 100, außer durch 400. Siehe Kalenderrechnung und Fristen.

Teilbarkeitsregeln#

Jede Zahl ist im Dezimalsystem eine Summe von Ziffern mal Zehnerpotenzen (Formel 1 dort). Alle Regeln beruhen darauf, dass sich für viele Teiler vorhersagen lässt, welchen Rest die einzelnen Zehnerpotenzen lassen. Bei 2, 4 und 8 (ebenso 5, 25 und 125) lassen ab einer bestimmten Stelle alle den Rest null, weil schon 10, 100 beziehungsweise 1000 durch sie teilbar sind — deshalb genügt der Blick auf das Ende der Zahl. Bei 3 und 9 lässt jede Zehnerpotenz den Rest 1, bei 11 abwechselnd $+1$ und $-1$.

Die Quersumme ist die Summe aller Ziffern, die alternierende Quersumme die Summe mit wechselndem Vorzeichen, beginnend bei der Einerstelle mit Plus. Die Quersumme darf man wiederholt bilden, bis eine einzige Ziffer bleibt (einstellige Quersumme); diese ist der Rest bei Division durch 9, wobei 9 für den Rest 0 steht.

Für zusammengesetzte Teiler werden die Regeln ihrer Faktoren kombiniert: $6 = 2 \cdot 3$, $12 = 3 \cdot 4$, $15 = 3 \cdot 5$, $18 = 2 \cdot 9$. Die Faktoren müssen dabei teilerfremd sein, sonst trägt die Kombination nicht: 12 ist durch 2 und durch 4 teilbar, aber nicht durch 8.⁷

Abkürzungen bei 3 und 9#

Wer nur wissen will, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist, muss die Quersumme nicht ausrechnen. Es genügt, ihren Rest bei Division durch 3 zu verfolgen, und dabei darf alles wegfallen, was selbst durch 3 teilbar ist:

• Die Ziffern 0, 3, 6 und 9 streichen. Sie tragen zur Quersumme nur Vielfache von 3 bei.
• Die übrigen Ziffern nach ihrem Rest ordnen: 1, 4 und 7 lassen den Rest 1, 2, 5 und 8 den Rest 2. Es zählt nur noch die Gruppe, nicht die Ziffer.
• Paare und Dreier streichen. Eine Ziffer der ersten Gruppe ergibt mit einer der zweiten ein Vielfaches von 3 (1 + 2, 4 + 8, 7 + 5, …), ebenso drei Ziffern derselben Gruppe. Beides fällt weg.
• Was übrig bleibt, ist der Rest. Bleibt nichts, ist die Zahl teilbar; eine Ziffer der ersten Gruppe oder zwei der zweiten lassen den Rest 1, eine der zweiten oder zwei der ersten den Rest 2.

Bei 82 547 136 fallen zuerst 3 und 6 weg; von 8, 2, 5, 4, 7 und 1 bilden 8 und 4, 2 und 7, 5 und 1 je ein Paar. Es bleibt nichts, die Zahl ist durch 3 teilbar. Bei 7 452 811 bleibt nach drei Paaren eine Ziffer der ersten Gruppe übrig, der Rest ist 1 — die Quersumme 28 bestätigt es.

Wer lieber der Reihe nach addiert, reduziert jede Zwischensumme sofort auf ihren Rest und muss sich so nie mehr als 0, 1 oder 2 merken.

Für die 9 gilt dasselbe in engerem Rahmen: Gestrichen werden 0 und 9 sowie alle Ziffern, die zusammen 9 ergeben (1 + 8, 2 + 7, 3 + 6, 4 + 5, aber auch 3 + 3 + 3 oder 1 + 2 + 6). Die Summe der übrigen Ziffern ist der Rest. Bei 82 547 136 gehen 8 + 1, 2 + 7, 5 + 4 und 3 + 6 restlos auf; die Zahl ist auch durch 9 teilbar. Auf dieselbe Weise lassen sich die einstelligen Quersummen der Neunerprobe im Kopf bilden.

Primzahlen und Primfaktorzerlegung#

Jede ganze Zahl größer als 1 lässt sich auf genau eine Weise als Produkt von Primzahlen schreiben, etwa

$$360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$$(2)

Aus dieser Primfaktorzerlegung liest man alles Weitere ab. Die Teiler einer Zahl sind genau die Produkte aus ihren Primfaktoren mit höchstens denselben Exponenten; ihre Anzahl ist das Produkt der um eins erhöhten Exponenten — bei 360 also $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$.

Dass der Vollwinkel 360 Grad, die Stunde 60 Minuten und das Dutzend 12 Stück zählt, verdankt sich dieser Teilerfülle: 60 hat 12 Teiler, 100 nur 9. Wer einen Betrag oft und glatt teilen musste, war mit 60 besser bedient — der Gulden Conventionsmünze hatte 60 Kreuzer (siehe Historische Maße und Währungen).

Die Primzahlen bis 100 sind: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 — fünfundzwanzig an der Zahl.

Ob eine Zahl $n$ eine Primzahl ist, prüft man durch Probedivision mit den Primzahlen bis $\sqrt{n}$. Größere braucht man nicht zu versuchen: Hätte $n$ einen Teiler über $\sqrt{n}$, so hätte es auch einen darunter. Für 4 711 genügen die Primzahlen bis 67 ($\sqrt{4711} \approx 68{,}6$); schon die 7 geht auf, $4\,711 = 7 \cdot 673$.

Behelf: Teilbarkeit und Primfaktoren#

Zur Kontrolle: 4 711 ist durch 7 teilbar und zerfällt in $7 \cdot 673$; 360 hat 24 Teiler; ggT(1 071, 462) = 21 und kgV = 23 562.

ggT, kgV und Hauptnenner#

Aus den Primfaktorzerlegungen zweier Zahlen ergibt sich der ggT als Produkt der gemeinsamen Primfaktoren mit dem jeweils kleineren Exponenten, das kgV als Produkt aller vorkommenden Primfaktoren mit dem jeweils größeren. Für $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$ und $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$ ist der ggT $2 \cdot 3 = 6$ und das kgV $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 1\,260$. Beide hängen zusammen:

$$\operatorname{ggT}(a, b) \cdot \operatorname{kgV}(a, b) = a \cdot b$$(3)

Für große Zahlen ist die Zerlegung mühsam. Schneller ist der euklidische Algorithmus:⁸ die größere Zahl durch die kleinere teilen, dann den Teiler durch den Rest, und so fort, bis kein Rest bleibt. Der letzte Teiler ist der ggT.

ggT(1 071, 462) = 21, nach Formel 3 ist das kgV $1\,071 \cdot 462 : 21 = 23\,562$.

Kürzen und Hauptnenner#

Ein Bruch ist gekürzt, wenn Zähler und Nenner teilerfremd sind; man kürzt, indem man beide durch ihren ggT teilt: $\tfrac{84}{90} = \tfrac{14}{15}$. Addieren lassen sich Brüche erst auf einem gemeinsamen Nenner. Der kleinste ist der Hauptnenner, das kgV aller Nenner.

Praktisch wird das bei Anteilen — Miteigentumsanteilen, Erbquoten, Kostenquoten, Haftungsanteilen: Was zusammen ein Ganzes ergeben soll, muss sich auf 1 summieren, und ob es das tut, sieht man erst auf dem Hauptnenner. Die Anteile $\tfrac13$, $\tfrac14$, $\tfrac16$ und $\tfrac14$ ergeben auf den Hauptnenner 12 gebracht $\tfrac{4 + 3 + 2 + 3}{12} = 1$. Bei $\tfrac13$, $\tfrac29$, $\tfrac16$ und $\tfrac14$ dagegen ergibt sich auf 36 gebracht $\tfrac{12 + 8 + 6 + 9}{36} = \tfrac{35}{36}$ — ein Sechsunddreißigstel ist niemandem zugeordnet. Beim Wohnungseigentum steht der Hauptnenner meist schon im Grundbuch: Die Anteile werden dort mit der Summe der Nutzwerte als Nenner geführt (siehe Grundbuch, Kataster und Vermessung).

Behelf: Anteile auf Hauptnenner#

Zur Kontrolle: 1/3 2/9 1/6 1/4 ergibt den Hauptnenner 36, die Summe 35/36, und es fehlt 1/36; 1/3 1/4 1/6 1/4 geht genau auf.

Rechenproben und Zahlendreher#

Neunerprobe#

Weil eine Zahl bei Division durch 9 denselben Rest lässt wie ihre Quersumme, lassen sich Summen und Produkte an den einstelligen Quersummen prüfen: Die einstellige Quersumme des Ergebnisses muss jener entsprechen, die sich aus den einstelligen Quersummen der Ausgangszahlen ergibt. Für $4\,711 + 2\,197 = 6\,908$: Die Summanden haben die einstelligen Quersummen 4 und 1, zusammen 5; das Ergebnis hat $6 + 9 + 0 + 8 = 23 \to 5$. Die Probe stimmt.

Die Neunerprobe ist bequem, aber nicht vollständig. Sie übersieht jeden Fehler, der das Ergebnis um ein Vielfaches von 9 verfälscht — und damit ausgerechnet die häufigsten Abschreibfehler: vertauschte Ziffern, eine vergessene oder hinzugefügte 0 oder 9, ein verrutschtes Komma.⁹ Gegen Vertauschungen benachbarter Ziffern hilft die Elferprobe, dieselbe Probe mit der alternierenden Quersumme.

Zahlendreher erkennen#

Was die Neunerprobe übersieht, macht die folgende Regel nützlich: Werden in einem Betrag zwei Ziffern vertauscht, ändert er sich immer um ein Vielfaches von 9. Für zwei benachbarte Ziffern $a$ und $b$ an den Stellen $10^{k+1}$ und $10^k$ gilt

$$(10a + b) \cdot 10^k - (10b + a) \cdot 10^k = 9\,(a - b) \cdot 10^k$$(4)

Ist die Differenz zweier Beträge, die übereinstimmen sollten, durch 9 teilbar, verrät der Quotient auch, wo zu suchen ist: Seine führende Ziffer ist der Abstand der vertauschten Ziffern, die Nullen dahinter geben die Stelle an. Ergibt eine Saldenliste 4 711, die Kontrollsumme aber 4 171, so ist die Differenz $540 = 9 \cdot 60$: Gesucht sind zwei benachbarte Ziffern mit dem Abstand 6 an Hunderter- und Zehnerstelle — die 7 und die 1.

Eine Differenz, die nicht durch 9 teilbar ist, schließt einen einzelnen Zahlendreher und ein verrutschtes Komma aus. Umgekehrt beweist die Teilbarkeit nichts: Jede neunte Differenz ist zufällig durch 9 teilbar. Den Ausschlag gibt erst der Blick auf die bezeichneten Ziffern.

Behelf: Zahlendreher suchen#

Zur Kontrolle: 4 711 gegen 4 171 meldet den Dreher an Hunderter- und Zehnerstelle; 1 234 gegen 1 432 den Dreher an Hunderter- und Einerstelle; 47,11 gegen 471,10 einen Kommafehler um eine Stelle; die Differenz 540 allein den Abstand 6 an Hunderter- und Zehnerstelle; 4 711 gegen 4 811 schließt Dreher und Kommafehler aus.

Prüfziffern#

Eine Prüfziffer ist eine Teilbarkeitsregel nach Maß: Die Ziffern einer Nummer werden gewichtet, summiert, und die Summe muss bei Division durch eine vereinbarte Zahl einen bestimmten Rest lassen. Die letzte oder eine eigens bestimmte Stelle wird so gewählt, dass die Rechnung aufgeht. Eine Nummer, deren Prüfung scheitert, ist sicher falsch abgeschrieben; eine, die besteht, ist bloß wahrscheinlich richtig.¹⁰

Die österreichische Sozialversicherungsnummer besteht aus einer dreistelligen laufenden Nummer, der Prüfziffer an vierter Stelle und dem Geburtsdatum in der Form TTMMJJ. Zu Hashwerten, die als Prüfsumme über ganze Dateien dienen, siehe Digitale Spuren.

Quelle: Teilbarkeit, Euklidischer Algorithmus, Prüfziffer, Sozialversicherungsnummer

Winkelfunktionen#

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Für Winkel im rechtwinkeligen Dreieck#

$\sin\alpha = \frac{Gegenkathete}{Hypothenuse} = \cos(90° - \alpha)$

$\cos\alpha = \frac{Ankathete}{Hypothenuse} = \sin (90° - \alpha)$

$\tan\alpha = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{\sin \alpha}{\cos\alpha } = \frac{1}{\tan(90° - \alpha)}$

$\cot\alpha = \frac{Ankathete}{Gegenkathete} = \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$

$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$

Für Winkel im rechtwinkeligen Dreieck#

$\sin\alpha = \frac{Gegenkathete}{Hypothenuse} = \cos(90° - \alpha)$

$\cos\alpha = \frac{Ankathete}{Hypothenuse} = \sin (90° - \alpha)$

$\tan\alpha = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{\sin \alpha}{\cos\alpha } = \frac{1}{\tan(90° - \alpha)}$

$\cot\alpha = \frac{Ankathete}{Gegenkathete} = \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$

$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$

Verwandt: Flächenformeln (Planimetrie) für Dreieck und Kreisabschnitt, Elektrotechnik Grundlagen für das Leistungsdreieck mit $\cos\varphi$ und Mathematik für die Dezimalwerte der Wurzeln.

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