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Flächenformeln (Planimetrie)#

• U ... Umfang
• F ... Fläche
• d ... Diagonale
• b ... Bogenlänge
• α ... Zentriwinkel (im Bogenmaß)

Fläche		Formeln
Kreis		$U=2 \pi r = \pi d$ $F=r^2\pi = \frac{\pi}{4}d^2$
Kreisabschnitt (Segment)		$U=b + s$ $F=\frac{r^2}{2}(\alpha - \sin\alpha)$ $b=r \alpha = \frac{\pi r \alpha^\circ}{180^\circ}$ $s=2 r \sin\frac{\alpha}{2}$ $h=r \left(1 - \cos\frac{\alpha}{2}\right)$ $r=\frac{s^2}{8h} + \frac{h}{2}$ $\alpha=2 \arcsin\frac{s}{2r}$
Rechtwinkeliges Dreieck		$U=a + b + c$ $F = \frac{c h}{2} = \frac{a b}{2}$ $c^2 = a^2 + b^2$ $h^2 = p q$ $a^2 = c p$ $b^2 = c q$
Gleichschenkeliges Dreieck		$U=a + 2 b$ $h=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}$
Gleichseitiges Dreieck		$U=3 a$ $F=\frac{a^2}{4}\sqrt{3}$ $h=\frac{a}{2}\sqrt{3}$
Beliebiges Dreieck		$U=a + b + c$ $F=\frac{g h_g}{2} = \sqrt{s(s - a)(s-b)(s-c)}$ $s = \frac{1}{2}( a + b + c)$
Quadrat		$U=4 a$ $F=a^2$ $d=a\sqrt{2}$
Rechteck		$U=2 (a + b)$ $F=a b$ $d=\sqrt{a^2 + b^2}$
Parallelogramm		$U=2 (a + b)$ $F=a h_a =b h_b$
Trapez		$U=a+b+c+d$ $F=m h$ $m = \frac{a + c}{2}$
Deltoid		$U=2 (a + b)$ $F=\frac{e f}{2}$
Gleichseitiges Fünfeck		$\alpha=108^\circ, \beta=72^\circ$ $R=\frac{a}{2 \sin(36^\circ)} \approx 0.85065 \cdot a$ $r=\frac{a}{2 \tan(36^\circ)} \approx 0.68819 \cdot a$ $U=5a$ $F=\frac{a^2}{4}\sqrt{25+10\sqrt{5}}=\frac{5a^2}{4\tan(36^\circ)}\approx 1.72048 \cdot a^2$ $d=a \cdot \phi=a \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx a \cdot 1.618034$

Der Kreisabschnitt liefert den Kurvenradius aus einer Sehne im Lageplan, siehe Kurvengrenzgeschwindigkeit.

Dreht man den Kreisabschnitt um seine Höhe, entsteht der Kugelabschnitt — siehe Körperformeln (Stereometrie).

Körperformeln (Stereometrie)#

• A ... Oberfläche
• A_O ... gesamte Oberfläche
• A_G ... Grundfläche
• A_D ... Dachfläche
• A_M ... Mantelfläche
• V ... Volumen
• h ... Höhe, beim Kugelabschnitt die Höhe der Kalotte
• a ... beim Kugelabschnitt der Radius des Schnittkreises
• $\pi$ ... 3.1415927

Körper		Formeln
Kreiskegel		$A = \pi r^2 + \pi rs$ $V = \frac{\pi}{3}r^2h$ $s = \sqrt{r^2 + h^2}$
Kreiskegelstumpf		$A = \pi [r^2 + R^2 + m (r +R)]$ $V = \frac{h \pi}{3}(R^2 + Rr + r^2)$
Kugel		$A = 4 \pi r^2$ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ $d = 2r$
Kugelabschnitt (Kalotte)		$a^2 = h (2r - h)$ $r = \frac{a^2 + h^2}{2h}$ $A_M = 2 \pi r h = \pi (a^2 + h^2)$ $A_O = A_M + \pi a^2$ $V = \frac{\pi h^2}{3}(3r - h) = \frac{\pi h}{6}(3 a^2 + h^2)$
Pyramidenstumpf		$A_M = A_1 + A_2 + \dots + A_n$ $A_O = A_M + A_G + A_D$ $V = \frac{1}{3}h(A_G + \sqrt{A_G A_D} + A_D)$
Pyramide		$A_M = A_1 + A_2 + \dots + A_n$ $A_O = A_G + A_M$ $V = \frac{1}{3}A_G h$
Quader		$A = 2 (ab + ac + bc)$ $V = a b c$ $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$
Torus		$A = 4\pi^2rR$ $V = 2\pi^2 r^2 R$
Würfel		$A = 6a^2$ $V = a^3$ $d=a \sqrt{3}$
Kreiszylinder		$A = 2 \pi r (r + h)$ $V = \pi r^2 h$
Fass		$d = \sqrt{h^2 + (2r)^2}$ $V \approx \frac{1}{3}\pi h (2R^2 + r^2)$

Der Kugelabschnitt entsteht durch Drehung eines Kreisabschnitts um dessen Höhe; die Formeln der ebenen Figur — Bogen, Sehne, Fläche — stehen in Flächenformeln (Planimetrie).

https://www.grund-wissen.de/mathematik/elementare-geometrie/stereometrie.html

Mathematik#

Irrationale Zahlen#

Platonische Körper#

Tetraeder#

• 4 gleichseitige Dreiecke
• 4 Ecken
• 6 Kanten

Würfel (Hexaeder)#

• 6 Quadrate
• 8 Ecken
• 12 Kanten

Oktaeder#

• 8 gleichseitige Dreiecke
• 6 Ecken
• 12 Kanten

Dodekaeder#

• 12 gleichseitige Fünfecke
• 20 Ecken
• 30 Kanten

Ikosaeder#

• 20 gleichseitige Dreiecke
• 12 Ecken
• 30 Kanten

Winkelfunktionen#

Für Winkel im rechtwinkeligen Dreieck#

$\sin\alpha = \frac{Gegenkathete}{Hypothenuse} = \cos(90° - \alpha)$

$\cos\alpha = \frac{Ankathete}{Hypothenuse} = \sin (90° - \alpha)$

$\tan\alpha = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{\sin \alpha}{\cos\alpha } = \frac{1}{\tan(90° - \alpha)}$

$\cot\alpha = \frac{Ankathete}{Gegenkathete} = \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$

$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$