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Glücksspiel#

→ Behelf: Kombinatorik und Ziehungswahrscheinlichkeit · Behelf: Erwartungswert und Hausvorteil · Behelf: Spielverlauf und Stundenverlust

Die Rechengrundlagen des Spiels gegen einen Anbieter, der den Zufall selbst erzeugt: Auszahlungsquote, Hausvorteil, Kombinatorik der Ziehungsspiele und der Verlauf über viele Spiele. Die Wette gegen einen Buchmacher oder einen Wettpool steht in Wetten; was beide Seiten gemeinsam haben und wo sie auseinandergehen, in Glücksspiel und Wetten.

Die vier Größen#

Jedes Glücksspiel lässt sich mit vier Zahlen beschreiben. Wer sie kennt, braucht die Werbung des Anbieters nicht zu lesen.

Auszahlungsquote und Hausvorteil sagen etwas über den Erwartungswert, die beiden anderen über den Verlauf. Zwei Spiele mit derselben Auszahlungsquote von 95 % fühlen sich völlig verschieden an, wenn das eine oft kleine und das andere selten große Gewinne ausschüttet — und sie führen zu völlig verschiedenen Verlustverläufen innerhalb eines Abends.

Ein verbreiteter Irrtum ist die Gleichsetzung von Auszahlungsquote und Verlustquote. Wer 100 Euro einsetzt, sie gewinnt, wieder einsetzt und so fort, erzeugt bei einem Hausvorteil von 5 % nach zwanzig Umsätzen einen erwarteten Verlust von rund 64 Euro, nicht von 5. Maßgeblich ist der Umsatz (handle), nicht der eingezahlte Betrag.

Behelf: Kombinatorik und Ziehungswahrscheinlichkeit#

Erwartungswert#

Der Erwartungswert eines Spiels ist die Summe der mit ihrer Wahrscheinlichkeit gewichteten Ergebnisse:

$$E = \sum_{i} p_i \cdot x_i$$(1)

Beim Roulette mit einfacher Null und einem Einsatz auf eine einzelne Zahl (Auszahlung 35 : 1):

$$E = \frac{1}{37} \cdot 35 + \frac{36}{37} \cdot (-1) = -\frac{1}{37} \approx -0{,}027$$(2)

Der Hausvorteil beträgt also 2,70 % — und zwar bei jeder Setzart des Roulettes gleich, was das Spiel unter den Kasinospielen mathematisch besonders ehrlich macht. Die Streuung ist bei den einzelnen Setzarten dagegen sehr verschieden.

Die Zeile der Sportwetten steht hier nur zum Vergleich: Dort heißt dieselbe Größe Marge und ergibt sich nicht aus der Spielkonstruktion, sondern aus den gesetzten Quoten — siehe Wetten.

Bei Ziehungsspielen ergibt sich die Wahrscheinlichkeit aus der Kombinatorik. Die Zahl der Möglichkeiten, aus $n$ Zahlen $k$ zu ziehen, ist der Binomialkoeffizient

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \, (n-k)!}$$(3)

Für das österreichische Lotto „6 aus 45" sind das $\binom{45}{6} = 8\,145\,060$ Tippreihen; die Wahrscheinlichkeit für sechs Richtige ist der Kehrwert. Für $t$ Richtige gilt die hypergeometrische Verteilung:

$$P(t) = \frac{\binom{k}{t} \cdot \binom{n-k}{k-t}}{\binom{n}{k}}$$(4)

Behelf: Erwartungswert und Hausvorteil#

Volatilität und Spielverlauf#

Der Erwartungswert sagt, wohin es geht; die Standardabweichung sagt, wie weit der Weg dorthin ausschlägt. Nach $N$ Spielen mit dem Einsatz $E$ je Spiel gilt für Erwartungswert und Streuung des Ergebnisses

$$\mu_N = -N \cdot E \cdot h \qquad\qquad \sigma_N = E \cdot \sigma_1 \cdot \sqrt{N}$$(5)

mit dem Hausvorteil $h$ und der Standardabweichung $\sigma_1$ je Spiel (in Einsätzen). Der entscheidende Punkt steckt in den Wurzeln: Der Verlust wächst linear mit der Zahl der Spiele, die Streuung nur mit der Wurzel. Kurzfristig kann jeder gewinnen — der Zufall überdeckt den Hausvorteil —, langfristig verliert jeder, weil der Hausvorteil die Streuung überholt. Die Zahl der Spiele, ab der ein Gewinn unwahrscheinlich wird, liegt bei

$$N^{*} \approx \left(\frac{\sigma_1}{h}\right)^{2}$$(6)

Bei einem Automaten mit 5 % Hausvorteil und $\sigma_1 = 10$ sind das rund 40.000 Spiele — bei 600 Spielen in der Stunde etwa 67 Stunden. Bei einem Roulette-Einsatz auf Rot ($\sigma_1 \approx 1$, $h = 0{,}027$) sind es dagegen nur rund 1.400 Coups.

Spielgeschwindigkeit. Der erwartete Verlust je Stunde ist das Produkt aus Einsatz, Spielen je Stunde und Hausvorteil. Ein Automat mit 1 Euro Einsatz, 600 Spielen in der Stunde und 5 % Hausvorteil kostet 30 Euro in der Stunde — nicht 5 Cent, wie die Auszahlungsquote von 95 % nahelegen könnte. Die Geschwindigkeit ist der Hebel, mit dem der scheinbar kleine Hausvorteil wirksam wird; sie ist deshalb der Grund, warum Automatenspiel und Lotterie trotz ähnlicher Quoten nicht dasselbe Suchtpotential haben.

Behelf: Spielverlauf und Stundenverlust#

Zur Verwendung im Verfahren#

Die Kennzahlen tragen unterschiedlich weit. Der Hausvorteil ist eine mathematische Eigenschaft des Spiels und im Regelfall unstrittig. Die Volatilität hängt von der konkreten Auszahlungstabelle ab und muss aus dieser abgeleitet werden; eine Angabe „hoch" oder „mittel" in der Spielbeschreibung ist kein Wert. Der erwartete Stundenverlust ist keine Prognose für den Einzelfall, sondern ein Mittelwert über sehr viele Stunden — für die Frage der Vermögensschädigung ist er gleichwohl die belastbarste verfügbare Größe, während die tatsächliche Bilanz eines Spielers aus den Transaktionsdaten zu rekonstruieren ist.

Siehe auch Methodenkritik im Gutachten zu Wahrscheinlichkeitsaussagen im Verfahren, Wetten zur Quotenrechnung und Glücksspiel und Wetten zur Abgrenzung.

Glücksspiel und Wetten#

Die Kategorie umfasst zwei Gegenstände, die dieselbe Mathematik und verschiedene Datenlagen haben. Diese Notiz hält fest, worin sie sich unterscheiden, welche Größen in beiden dieselben sind und wo die Grenze in der Praxis unscharf verläuft. Die Rechnungen selbst stehen in Glücksspiel und in Wetten.

Die Abgrenzung ist hier eine tatsächliche, keine rechtliche: Es geht darum, woher die Unsicherheit kommt und wie sich der Vorteil des Anbieters bildet. Die Einordnung nach dem Glücksspielrecht folgt eigenen Begriffen und bleibt außerhalb dieses Vaults.

Woher der Zufall kommt#

Der Unterschied lässt sich auf einen Satz bringen: Beim Glücksspiel erzeugt der Anbieter den Zufall, bei der Wette beobachtet er ihn.

Beim Glücksspiel ist der Zufallsmechanismus Teil des Produkts — das Rad, der Kartenstapel, der Zufallsgenerator des Automaten. Seine Verteilung ist konstruiert und daher exakt bekannt; der Erwartungswert ist keine Schätzung, sondern eine Rechnung. Wer die Auszahlungstabelle hat, kennt den Hausvorteil auf die Nachkommastelle.

Bei der Wette liegt das Ereignis außerhalb der Reichweite beider Seiten — ein Rennen, ein Spiel, ein Wahlausgang. Seine Verteilung ist niemandem bekannt; beide Seiten schätzen sie. Der Anbieter sichert sich seinen Anteil deshalb nicht über die Konstruktion des Zufalls, sondern über die Quote: Er stellt sie so, dass die Summe der Kehrwerte über eins liegt. Daraus folgt der praktisch wichtigste Unterschied: Beim Glücksspiel ist Vorwissen wertlos, weil es nichts zu wissen gibt. Bei der Wette entscheidet auf lange Sicht das Gefälle des Vorwissens zwischen Wettendem und Anbieter — siehe Wetten › Proportionales Wetten.

Die letzte Zeile hat eine Folge für die Beweisführung, die leicht übersehen wird: Der Erwartungswert eines Automatenspiels ist aus dem Gerät heraus berechenbar, der Erwartungswert einer einzelnen Wette nicht. Wer behauptet, eine Wette habe einen positiven Erwartungswert gehabt, behauptet damit zugleich, seine Einschätzung sei besser gewesen als die des Buchmachers — und diese Behauptung ist zu begründen.

Was beide teilen#

Alles, was nach der Festlegung des Preises kommt, ist in beiden Fällen dieselbe Rechnung.

Ein Vorteil unter zwei Namen. Hausvorteil und Marge messen dasselbe: den Anteil des Umsatzes, der beim Anbieter bleibt. Nur der Weg dorthin ist verschieden, und die Umrechnung zwischen den beiden gebräuchlichen Schreibweisen lautet

$$h = 1 - \frac{1}{R} \qquad\qquad R = \frac{1}{1-h}$$(1)

mit dem Overround $R$ als Summe der Quotenkehrwerte. Ein Overround von 12 % entspricht einer Marge von 10,71 %; umgekehrt entspräche der Hausvorteil des Roulettes von 2,70 % einem Overround von 2,78 %. Wer beide Werte nebeneinanderstellt, muss sie also erst auf dieselbe Schreibweise bringen — sonst vergleicht er 12 mit 2,7 und meint 10,7 mit 2,7.

Umsatz statt Einzahlung. Der Vorteil des Anbieters greift auf jeden Einsatz, nicht auf den eingezahlten Betrag. Wer 100 Euro zwanzigmal umsetzt, verliert bei 5 % erwartungsgemäß 64 Euro, nicht 5. Das gilt für den Automaten wie für den Wiedereinsatz eines Wettgewinns.

Verlust linear, Streuung mit der Wurzel. Über $N$ Spiele wächst der erwartete Verlust mit $N$, die Streuung nur mit $\sqrt{N}$. Kurzfristig kann jeder gewinnen, langfristig niemand — sofern der Erwartungswert negativ ist. Ausgeführt in Glücksspiel › Volatilität und Spielverlauf.

Der Einsatz als Anteil des Kapitals. Das Kelly-Kriterium für die einzelne Wette und das proportionale Wetten über mehrere Ausgänge sind dieselbe Regel in zwei Formen; beide gelten nur bei positivem Erwartungswert und sind daher beim Glücksspiel gegenstandslos. Siehe Wetten › Quoten und Overround.

Häufigkeit als Hebel. Ein kleiner Vorteil des Anbieters wird durch Wiederholung wirksam. Deshalb ist der Automat mit 600 Spielen in der Stunde und 5 % Hausvorteil teurer als die Wette mit 8 % Marge auf ein Spiel, das neunzig Minuten dauert — nicht wegen der Prozentzahl, sondern wegen der Frequenz. Live- und Ereigniswetten nähern die Wette in diesem Punkt dem Glücksspiel an.

Zusammenfassen potenziert den Vorteil. Werden $n$ unabhängige Wetten zu einer verknüpft, multipliziert sich der Ausschüttungsanteil zu $A^n$: 6 % Marge je Einzelwette werden über sechs Spiele zu 31 %. Dieselbe Rechnung trägt jedes Produkt, das mehrere Einzelrisiken bündelt. Siehe Wetten › Die Marge potenziert sich.

Dieselben Denkfehler. Der Spielerfehlschluss („Rot muss jetzt kommen"), die Verwechslung von Auszahlungsquote und Verlustquote, das Rosinenpicken der erinnerten Gewinne und die versunkenen Kosten des bisher Verspielten treten auf beiden Seiten auf. Siehe Fehlschlüsse mit Zahlen und Fehlschlüsse über Belege.

Grenzfälle#

Die Trennung ist ein Modell, und wie jedes Modell hat sie Ränder.

Virtuelle Sportarten und Zahlenwetten. Im Wettbüro angebotene „Rennen" oder Zahlenziehungen, deren Ausgang ein Zufallsgenerator bestimmt, sind der Form nach Wetten und der Sache nach Glücksspiel: Der Anbieter erzeugt den Zufall wieder selbst, und der Erwartungswert steht fest.

Poker und andere Spiele der Teilnehmer untereinander. Hier spielt niemand gegen den Anbieter; dieser behält einen festen Anteil des Pots (Rake). Die Rechnung entspricht der Totalisatorwette: fester Abzug, kein Ergebnisrisiko des Veranstalters, das Ergebnis der Teilnehmer verteilt sich untereinander. Sachkenntnis wirkt daher wie bei der Wette — gegen die Mitspieler, nicht gegen den Anbieter.

Wetten auf Ereignisse ohne Fachkundige. Bei einer Wette auf einen Wahlausgang oder das Wetter gibt es kein Vorwissen, das systematisch besser wäre als der Markt. Der Wettende steht dann faktisch wie beim Glücksspiel da, obwohl der Mechanismus ein anderer ist.

Geschicklichkeitsanteile am Automaten. Bedienelemente, die den Ausgang beeinflussen sollen, ändern in aller Regel den Erwartungswert nicht; er ist in der Auszahlungstabelle festgelegt. Wo Geschicklichkeit tatsächlich wirkt, muss sie sich in dieser Tabelle abbilden lassen — sonst ist sie Gestaltung, nicht Mathematik.

Finanzprodukte mit Wettstruktur. Differenzkontrakte und Binäroptionen haben die Struktur der Buchmacherwette: fester Preis, Gegenpartei der Anbieter, dessen Anteil im Spread steckt. Die Kennzahlen dieser Notiz sind dort unmittelbar anwendbar.

Lotterie und Tombola. Ziehungsspiele mit sehr hohem Anbieteranteil und sehr wenigen Wiederholungen je Teilnehmer. Der Erwartungswert ist der schlechteste aller hier behandelten Spiele, die Frequenz aber so niedrig, dass der Stundenverlust klein bleibt — der Grund, warum Erwartungswert und Gefährdungspotential auseinanderfallen können.

Wetten#

→ Behelf: Quoten und Overround · Behelf: Kombischein

Die Rechengrundlagen der Wette auf ein Ereignis, das außerhalb des Anbieters liegt: Dezimalquote, Overround und Marge, die beiden Abrechnungsarten und der Kombischein. Das Spiel gegen einen selbst erzeugten Zufall steht in Glücksspiel; die gemeinsamen Größen und die Abgrenzung in Glücksspiel und Wetten.

Quoten und Overround#

Bei Sportwetten setzt der Buchmacher Dezimalquoten $q_j$ fest. Ihr Kehrwert ist die implizite Wahrscheinlichkeit, doch die Summe dieser Kehrwerte übersteigt eins:

$$R = \sum_{j} \frac{1}{q_j} > 1$$(1)

Der Überschuss $R - 1$ heißt Overround; der Anteil des Buchmachers am Umsatz ist die Marge $1 - 1/R$. Die auf eins normierten Kehrwerte $\hat{r}_j = r_j / R$ sind die vom Buchmacher unterstellten Wahrscheinlichkeiten.

Für die Einsatzhöhe bei einem als vorteilhaft erkannten Spiel gibt das Kelly-Kriterium¹ den Anteil des Kapitals an, der langfristig das größte Wachstum bringt:

$$f^{*} = \frac{p \cdot q - 1}{q - 1}$$(2)

mit der eigenen Wahrscheinlichkeitsschätzung $p$ und der Dezimalquote $q$. Ist $f^{*} \le 0$, hat die Wette keinen positiven Erwartungswert. In der Praxis wird meist mit dem halben Kelly-Anteil gesetzt, weil die Schätzung von $p$ selbst fehlerbehaftet ist und ein zu hoher Einsatz das Kapital rascher aufzehrt, als der Vorteil es wieder aufbaut.

Totalisator- und Buchmacherwette#

Wetten werden auf zwei grundverschiedene Arten abgerechnet. Der Unterschied entscheidet, wer das Risiko des Ausgangs trägt und wann die Quote feststeht.

Bei der Buchmacherwette (Festquotenwette) stellt der Buchmacher die Quoten selbst. Die im Zeitpunkt des Vertragsabschlusses vereinbarte Quote gilt, auch wenn sich der Markt danach dreht. Der Buchmacher ist Gegenpartei der Wette und trägt das Ergebnisrisiko: Trifft der von ihm unterschätzte Ausgang ein, zahlt er mehr aus, als er eingenommen hat. Er steuert dieses Risiko über den Overround und über das Nachziehen der Quoten bei einseitigem Einsatzaufkommen. Nur bei einem ausgeglichenen Buch — die Einsätze verteilen sich genau im Verhältnis der Kehrwerte — ist sein Ertrag die kalkulierte Marge; sonst schwankt er mit dem Ergebnis.

Bei der Totalisatorwette (Pari-mutuel, im Pferdesport die Regel) wettet niemand gegen den Veranstalter, sondern alle Teilnehmer gegeneinander. Sämtliche Einsätze fließen in einen Pool $P$; davon behält der Veranstalter einen im Voraus festgelegten Abzug $t$ ein, der Rest wird auf die Gewinnkarten verteilt. Die Quote für den Ausgang $j$ ergibt sich erst nach Wettschluss aus den Einsätzen $E_j$:

$$q_j = \frac{(1-t) \cdot P}{E_j}$$(3)

Der Veranstalter trägt hier kein Ergebnisrisiko — sein Ertrag ist $t \cdot P$, gleichgültig, wer gewinnt. Dafür kennt der Wettende beim Setzen seine Quote nicht: Bis zum Wettschluss werden nur Richtquoten angezeigt, und jeder weitere Einsatz auf denselben Ausgang senkt die eigene Quote.

Der Overround ist beim Totalisator keine Kalkulation, sondern folgt zwangsläufig aus dem Abzug:

$$R = \sum_j \frac{1}{q_j} = \sum_j \frac{E_j}{(1-t)P} = \frac{1}{1-t}$$(4)

Die Marge $1 - 1/R$ ist damit genau $t$. Und die normierten Kehrwerte sind hier nicht die Einschätzung eines Buchmachers, sondern die Einsatzanteile — also die Meinung der Wettenden selbst.

Ein Zahlenbeispiel: Bei einem Pool von 100.000 € und einem Abzug von 20 % werden 80.000 € ausgeschüttet. Sind davon 25.000 € auf ein Pferd gesetzt, beträgt dessen Endquote $80.000 / 25.000 = 3{,}20$. Ihr Kehrwert $31{,}25\,\%$ ist die implizite Wahrscheinlichkeit einschließlich Abzug; normiert ($31{,}25\,\% / 1{,}25$) bleiben $25\,\%$ — genau der Einsatzanteil. Wer 1.000 € auf dieses Pferd nachsetzt, drückt dessen Quote auf $101.000 \cdot 0{,}8 / 26.000 \approx 3{,}11$ — auch für sich selbst.

Behelf: Quoten und Overround#

Kombinationswetten#

Eine Kombinationswette (kumulative Wette, Kombischein, Akkumulator) fasst mehrere voneinander unabhängige Einzelwetten zu einer einzigen Wette zusammen. Sie gewinnt nur, wenn jede der enthaltenen Vorhersagen zutrifft; ein einziger Fehltipp macht den ganzen Schein wertlos. Die Zahl der zusammengefassten Spiele heißt Kumulationsgrad.

Gerechnet wird multiplikativ. Bei $n$ Einzelwetten mit den Quoten $q_i$ und den Trefferwahrscheinlichkeiten $p_i$ gilt

$$q_{ges} = \prod_{i=1}^{n} q_i \qquad p_{ges} = \prod_{i=1}^{n} p_i$$(5)

Die zweite Formel setzt Unabhängigkeit voraus — bei Spielen derselben Liga, bei Wetter- oder Verletzungslagen, die mehrere Partien gleichzeitig betreffen, ist sie verletzt.

Der Reiz des Kombischeins liegt in der ersten Formel, sein Preis in der zweiten. Vier Einzelwetten zu je 1,90 ergeben eine Gesamtquote von 13,03 — bei je 55 % Trefferwahrscheinlichkeit trifft der Schein aber nur in $0{,}55^4 = 9{,}2\,\%$ der Fälle zu.

Die Marge potenziert sich#

Entscheidend für die Beurteilung ist, was mit dem Vorteil des Anbieters geschieht. Behält er je Einzelwette den Anteil $1 - A$ ein, ist $A$ der Erwartungswert je eingesetztem Euro. Über $n$ multiplizierte Einzelwetten wird daraus

$$A_{ges} = A^{n}$$(6)

Bei einem Ausschüttungsanteil von 94 % je Einzelwette bleiben über sechs Spiele $0{,}94^6 = 68{,}99\,\%$; die Marge steigt von 6 auf 31 %. Ein Kombischein ist damit kein besonders gutes, sondern ein besonders teures Produkt — und zwar ohne dass der Anbieter die einzelne Quote verschlechtern müsste. Das ist der Grund, warum Kombiwetten beworben und Einzelwetten nicht beworben werden.

Zugleich fällt die Gewinnwahrscheinlichkeit mit wachsendem Kumulationsgrad rasch, selbst bei sehr gut vorhersagbaren Spielen. Wer sechs Partien mit 90 % und vier mit 99 % Sicherheit trifft, gewinnt seinen Zehnerkombi nur mit $0{,}9^6 \cdot 0{,}99^4 = 51{,}0\,\%$. Nimmt er zwei weitere Spiele dazu, die er nur mit 80 % einschätzt, sinkt der Wert auf $32{,}7\,\%$ — die beiden Zusatzspiele kosten ein Drittel der Trefferaussicht. Jenseits eines Kumulationsgrades von etwa zehn Spielen bleibt vom Einfluss des Sachverstandes wenig übrig, und der Zufall trägt das Ergebnis.

Proportionales Wetten#

Wer auf ein Ereignis mit mehreren Ausgängen setzt, kann sein Kapital aufteilen. Sei $b_j$ der Anteil des Kapitals, den er auf den Ausgang $j$ setzt, mit $\sum_j b_j = 1$. Nach $N$ Spielen ist sein Kapital das Produkt der jeweils erzielten Faktoren $b_j q_j$; logarithmiert und durch $N$ geteilt, strebt es nach dem Gesetz der großen Zahlen gegen die Verdoppelungsrate

$$W = \sum_{j} p_j \log \left( b_j \, q_j \right)$$(7)

Sie ist die Wachstumsrate des Kapitals je Spiel und wird — bei gegebenen Quoten — genau dann maximal, wenn $b_j = p_j$ gilt: wenn der Spieler sein Kapital also proportional zu den Wahrscheinlichkeiten verteilt, die er den Ausgängen selbst beimisst. Jede Abweichung davon kostet Wachstum, gleichgültig in welche Richtung. Für den Grenzfall einer einzelnen Wette geht die Regel in das oben genannte Kelly-Kriterium über.

Stellt man $W$ mit den normierten Kehrwerten $\hat{r}_j$ des Buchmachers dar, wird sichtbar, wovon der Erfolg auf lange Sicht abhängt: Der Spieler wächst genau dann, wenn seine eigene Einschätzung näher an der Wirklichkeit liegt als die des Buchmachers — und zwar um mehr als $\log R$. Der Overround ist damit nicht bloß eine Gebühr, sondern der Vorsprung, den der Spieler an Information erst aufholen muss, bevor er überhaupt zu gewinnen beginnt. Was am Ende über Gewinn und Verlust entscheidet, ist nicht der Zufall allein, sondern das Gefälle des Vorwissens zwischen beiden Seiten.

Der Kombischein steht dieser Strategie nicht entgegen, auch wenn es zunächst so aussieht: Wer mit einem Einsatz mehrere Spiele bezahlt, scheint sein Kapital nicht mehr je Spiel aufteilen zu können. Er kann es aber mittelbar — indem er für jede mögliche Ergebniskombination einen eigenen Schein ausfüllt und darauf das Produkt der gewünschten Einzelanteile setzt. Summiert man über alle Scheine, die für ein bestimmtes Spiel denselben Ausgang enthalten, bleibt genau der für dieses Spiel vorgesehene Anteil übrig. Praktisch begrenzt sich das von selbst: Bei drei möglichen Ausgängen und vier Spielen sind das 81 Scheine, bei sieben Spielen schon 2.187.

Behelf: Kombischein#

Für jedes Spiel die angebotene Quote und die eigene Einschätzung, wie wahrscheinlich der getippte Ausgang eintritt. Die Spalte je € zeigt, was die einzelne Wette je eingesetztem Euro im Mittel zurückbringt: Werte unter 1 sind die Marge des Anbieters, Werte über 1 ein eigener Vorteil. Verglichen wird der Kombischein mit demselben Betrag, gleichmäßig auf die Einzelwetten aufgeteilt.

Zur Verwendung im Verfahren#

Die Größen dieser Notiz sind verschieden gut belegbar. Quoten, Overround und Marge lassen sich aus dem Wettschein oder dem Kontoauszug des Anbieters nachrechnen und sind insoweit unstrittig; beim Totalisator folgt die Marge zwingend aus dem Abzug $t$. Die Trefferwahrscheinlichkeit dagegen ist keine Eigenschaft des Spiels, sondern eine Schätzung — jede Aussage über den Erwartungswert einer einzelnen Wette hängt daran und ist ohne Angabe der Schätzgrundlage wertlos. Der Kumulationsgrad eines Kombischeins und die daraus folgende potenzierte Marge sind wieder reine Rechnung.

Aus den Transaktionsdaten eines Wettkontos ist die tatsächliche Bilanz zu rekonstruieren; maßgeblich ist auch hier der Umsatz, nicht der eingezahlte Betrag. Zur Belastbarkeit von Wahrscheinlichkeitsaussagen Methodenkritik im Gutachten, zur Sicherung und Auswertung der Kontodaten Digitale Spuren.

Siehe auch Glücksspiel zu Hausvorteil und Volatilität und Glücksspiel und Wetten zur Abgrenzung.